Question

经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长

经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

∵椭圆方程为

x2

2

+y²=1，
∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为60°，
∴直线AB的方程为y=

3

（x+1），
将AB方程与椭圆方程消去y，得7x²+12x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

∴|x₁-x₂|=

(? 12 7 )2?4× 4 7

=

4 2

7

因此，|AB|=

1+3

?|x₁-x₂|=

8 2

7

．

Answer 2

设A点坐标为(x1,y1)
B点坐标(x2,y2)
设直线l的方程为y-y1=k(x-x1)
因为直线经过椭圆（x^2/2)
y^2=1的左焦点F1
且左焦点F1坐标为(-1,0)
又因为直线l倾斜角为60°
所以斜率k=tan60°=√3
所以直线l的方程为y=√3(x
1)
联立方程组:
y=√3(x
1)
（x^2/2)
y^2=1
消去y
得7x^2
12x
4=0
由韦达定理可知:x1
x2=-b/a=-12/7
x1*x2=c/a=4/7
整理得x1-x2=4√2/7
AB两点距离＝√[(x1-x2)^2
(y1-y2)^2]
又因为y1=√3(x1
1)
y2=√3(x2
1)
所以AB长＝2(x1-x2)=2*4√2/7=8√2/7