Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C除外），AF与DC的延长线

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

．
∴∠ADC=∠AFD．
又∵四边形AFCD内接于⊙O，∠FCM=∠FAD，∠CFM=∠ADC，
∴∠AFD=∠CFM．
∴△AFD∽△CFM；

（2）存在，当点F运动到弧AC的中点时，△FMD为等腰三角形．
证明：当点F在AC中点时，∠ADF=∠CDF，
又由（1）△AFD∽△CFM，
∴∠M=∠ADF．
∴∠M=∠CDF．
∴FD=FM，即△FMD为等腰三角形．