Question

已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）

已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若方程f（x）=0在区间[2，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=2时，f（x）=x²-2lnx，x＞0，
∴f′（x）=

2(x2?1)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=

2x2?a

x

，x＞0，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a 2

，x＜-

a 2

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a 2

，
∴f（x）在（0，

a 2

）递减，在（

a 2

，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增
a＞0时，f（x）在（0，

a 2

）递减，在（