Question

关于高等数学 多元函数积分的二重积分问题

关于高等数学 多元函数积分的二重积分问题

1dxdydz三重积分求的是体积 这个我知道

2但是我看到某些题目dxdy,关于z的部分放在被积表达式中，然后就求出体积了。
我们不是常说二重积分是球面积的么？ 为什么可以把z部分放在表达式中，什么情况 下才能这样做？怎么样区分是用dxdydz还是 zdxdy这类情况

我不是很分的清楚啊

Answer 1

z是可以在dxdy，z可能是表示高，从而积分是体积。这可以看作是对坐标的曲面积分（但不是对坐标的曲面积分，对坐标的曲面积分积分的面是有方向的，以围成曲面的曲线右旋方向为正），即第二类曲面积分。dxdy积分中可以是x,y.z的表达式而不仅仅限于z（只要满足x,y,z被一个方程约束，即x,y,z的方程式可以构成曲面而不论z是否可以用x,y的显式表达出来），在积分是以围成曲面的曲线的右旋方向为正，至于曲线的方向，题目会规定。 你现在理解不了没关系，后面马上会讲两类曲线积分，这两类积分是对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分；对面积的曲面积分，对坐标的曲面积。它们是通过格林公式，格林第一公式；高斯公式，斯托克斯公式联系起来的，这个比较难，建议你提前预习。

Answer 2

你看的那个题一定是函数的表达式与z无关，所以可以先对z求积分，这就相当与一个常数对z求积分。所以dz就变成了z。还是举个例子说吧，如果被积函数是f(x,y),则∫f(x,y)dxdydz=∫[f(x,y)dz]dxdy=∫z·f(x,y)dxdy=z∫f(x,y)dxdy

Answer 3

你混淆了三重积分和二重积分，∫zdxdy表示二重积分，其中z默认就是f(x,y),它是可以体积和面积的。而dxdydz可用dv代替，v表体积，dxdy可用ds代替，s表面积

Answer 4

同济大学出版社的高数讲解的很清晰