Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，求证△AEF是等腰三角形。

Answer 1

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D
那么∠C=90°-∠ABC
∠BAD=90°-∠ABC
所以∠C=∠BAD
因为BE平分∠ABC
所以∠ABF=∠CBF
因为∠AEF=∠C+∠CBF
∠AFE=∠BAD+∠ABF
所以∠AEF=∠AFE
所以AE=EF（等角对等边）
所以△AEF是等腰三角形

Answer 2

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D
那么∠C=90°-∠ABC
∠BAD=90°-∠ABC
所以∠C=∠BAD
因为BE平分∠ABC
所以∠ABF=∠CBF
因为∠AEF=∠C+∠CBF
∠AFE=∠BAD+∠ABF
所以∠AEF=∠AFE
所以AE=EF（等角对等边）
所以△AEF是等腰三角形

Answer 3

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D
那么∠C=90°-∠ABC
∠BAD=90°-∠ABC
所以∠C=∠BAD
因为BE平分∠ABC
所以∠ABF=∠CBF
因为∠AEF=∠C+∠CBF
∠AFE=∠BAD+∠ABF
所以∠AEF=∠AFE
所以AE=EF（等角对等边）
所以△AEF是等腰三角形

Answer 4

由RT△ABC和RT△ABD，∠C=∠BAD
由FG//AC ,∠C=∠FGD
所以，∠C=∠BAD=∠FGD
BE评分∠ABC，∠ABE=∠CBE
又因为BF是公共边
所以△ABF≌△GBF
所以AF=FG，AB=BG
同理可证△ABE≌△GBE，△AFE≌△GFE
AE=EG，∠AEF=∠FEG=∠AFE
所以AF//EG
所以四边形AEGF是平行四边形
由FG//AC ,
∠AEF=∠GFE
所以AE=AF=FG=GE
四边相等的平行四边形是菱形。