Question

如图1，等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF．（1）△DEF是______三角形；（2）如

如图1，等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF．（1）△DEF是______三角形；（2）如图2，M为线段BC上一点，连接FM，在FM的右侧作等边△FMN，连接DM、EN．求证：DM=EN；（3）如图3，将上题中“M为线段BC上一点”改为“点M为CB延长线上一点”，其余条件不变，求证：DM=EN．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又AD=BE=CF ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DE=EF=DF， ∴△DFE为等边三角形． （2）由（1）得，DE=EF=DF， 又MF=MN=FM，∠DFM=∠EFM+60°，∠EFN=∠EFM+60°， ∴∠DFM=∠EFN， ∴△DFM≌△EFN ∴DM=NE． （3）同理，DE=EF=DF，MF=MN=FN， 又∠MFD+∠MFE=60°，∠MFE+∠EFN=60°， ∴∠MFD=∠EFN， ∴△MDF≌△NEF， ∴DM=EN．