Question

（2013年四川眉山3分）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连

（2013年四川眉山3分）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE 2 +DC 2 =DE 2 ，其中正确的有【 】个． A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

C。

①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°． 在△AED与△AEF中，∵ ，∴△AED≌△AEF（SAS）。①正确。 ②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°。 ∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等。 ∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等。 ∴△ABE与△ACD不一定相似。②错误。 ③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF。 在△ACD与△ABF中，∵ ，∴△ACD≌△ABF（SAS）。∴CD=BF。 由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF。 在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE。③正确。 ④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°。 ∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°。 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE 2 +BF 2 =EF 2 。 ∵BF=DC，EF=DE，∴BE 2 +DC 2 =DE 2 。④正确。 综上所述，正确的结论有①③④。故选C。