Question

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若 f( 9π 4 )=13-9 2 ．（1）求a的值

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若 f( 9π 4 )=13-9 2 ．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n，使得方程f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令 x= 9π 4 ，得 2 a+4+9=13-9 2 ，得a=-9． （2） f(x+π)=-9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9 =-9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9=f(x) 所以，f（x）的最小正周期为π． （3）不存在n满足题意．  当 x∈[0， π 2 ] 时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9． 设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ π 4 )，t∈[1， 2 ] ，则sin2x=2sinxcosx=t 2 -1， 于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t 2 -9t+5，令4t 2 -9t+5=0，得 t=1或t= 5 4 ∈[1， 2 ] ， 于是 x=0， π 2 ，或 x= x 0 (0＜ x 0 ＜ π 4 ) 或 x= π 2 - x 0 ，其中 sin( x 0 + π 4 )= 5 2 8 ， 当 x∈( π 2 ，π) 时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9． 设 t=sinx-cosx= 2 sin(x- π 4 )，t∈(1， 2 ] ，则sin2x=2sinxcosx=1-t 2 ， 于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t 2 -9t+13，令-4t 2 -9t+13=0， 解得t=1或 t=- 13 4 ?(1， 2 ] ，故f（x）在 x∈( π 2 ，π) 没有实根． 综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根， 故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．