Question

已知正数 a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 b a 的取值范围是（　　） A． [

已知正数 a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 b a 的取值范围是（　　） A． [ 1 7 ，e] B． [e， 7 2 ] C．[e，7] D． [ 1 7 ， 1 e ]

Answer 1

∵4c-a≥b＞0 ∴ c a ＞ 1 4 ， ∵5c-3a≤4c-a， ∴ c a ≤2． 从而 b a ≤2×4-1=7，特别当 b a =7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2． 又clnb≥a+clnc， ∴0＜a≤cln b c ， 从而 b a ≥ b c ln b c ，设函数f（x）= x lnx （x＞1）， ∵f′（x）= lnx-1 (lnx) 2 ，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0， ∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值． ∴f（x） min =f（e）= e lne =e． 等号当且仅当 b c =e， b a =e成立．代入第一个不等式知：2≤ b a =e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1． 从而 b a 的取值范围是[e，7]双闭区间． 故选C