Question

已知圆C：x 2 ＋(y－1) 2 ＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．(1)若|AB|＝ ，求直

已知圆C：x 2 ＋(y－1) 2 ＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．(1)若|AB|＝ ，求直线l的倾斜角；(2)若点P(1,1)满足2 ＝ ，求此时直线l的方程．

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Answer 1

（1） 或 .        （2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

(1)由圆C：x 2 ＋(y－1) 2 ＝5，得圆的半径r＝ ， 又|AB|＝ ，故弦心距d＝ ＝ . 再由点到直线的距离公式可得d＝ ， ∴ ＝ ，解得m＝± . 即直线l的斜率等于± ，故直线l的倾斜角等于 或 . (2)设A(x 1 ，mx 1 －m＋1)，B(x 2 ，mx 2 －m＋1)，由题意2 ＝ 可得2(1－x 1 ，－mx 1 ＋m)＝(x 2 －1，mx 2 －m)， ∴2－2x 1 ＝x 2 －1，即2x 1 ＋x 2 ＝3.① 再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x 2 ＋(y－1) 2 ＝5，化简可得(1＋m 2 )x 2 －2m 2 x＋m 2 －5＝0，由根与系数 关系可得x 1 ＋x 2 ＝ .② 由①②解得x 1 ＝ ，故点A的坐标为( ， )． 把点A的坐标代入圆C的方程可得m 2 ＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.