有界振荡函数必有原函数吗？ 设f(x)有界且仅有有限个振荡间断点，f(x)有原函数存在么？
根据原函数存在定理，连续函数一定有原函数。那么不连续的函数有没有原函数呢？就考研的范围来说，对于不连续的函数，只有间断点是震荡间断点的函数，才可能有原函数。有没有原函数跟函数是否有界无关。
例如
f(x)= 2x·sin(1/x²)-(2/x)·cos(1/x²), x≠0
0， x=0
和
f(x)= 2x·cos(1/x) ＋ sin(1/x), x≠0
0, x=0
二者都有震荡间断点，前者在x=0的邻域内f(x)无界，后者有界，但二者都有原函数。
但是，也有存在震荡间断点但是无原函数的函数。
如
f(x) = (1/x)·sin(1/x),x≠0
0, x=0
有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
扩展资料：
由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于-1或1）是无界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。
函数是有界的。
任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）
则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。
根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界 。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M> 0，使得对于所有的自然数n，都有： 
参考资料：百度百科---有界函数
例如
f(x)= 2x·sin(1/x²)-(2/x)·cos(1/x²), x≠0
0， x=0
和
f(x)= 2x·cos(1/x) ＋ sin(1/x), x≠0
0, x=0
二者都有震荡间断点，前者在x=0的邻域内f(x)无界，后者有界，但二者都有原函数。
但是，也有存在震荡间断点但是无原函数的函数。
如
f(x) = (1/x)·sin(1/x),x≠0
0, x=0
回到问题，有界震荡函数不一定有原函数。
已赞过
已踩过<
|
广告 您可能关注的内容 |
