Question

线性代数，图中红线部分，为什么矩阵可逆，那两个向量的秩就相等

Answer 1

n阶方阵可逆的话，
即行列式不等于0
那么一定是满秩矩阵，
即r(A)=r(B)=n

所以二者的秩是相等的

追问

rA=rB=n怎么得来的。。

追答

A和B都是满秩矩阵了，
又都是n阶矩阵，
当然可以得到
r(A)=r(B)=n

Answer 2

该式简记为 B = AP
P 可逆， r(P) = 3,
因 r(B) = min { r(A), r(P)} = min { r(A), 3}
当 r(A) = 3 时， r(B) = 3 = r(A)
当 r(A) < 3 时， r(B) = r(A)

追问

B中独立向量的个数为什么是A中独立向量个数和P中独立向量个数中的较小值

追答

参见教材 矩阵的秩 一节， 矩阵相乘后秩的变化