Question

若二次函数y﹦f(x)的图像过原点，且1≤f﹙－1﹚≤2，3≤f﹙1﹚

若二次函数y﹦f(x)的图像过原点，且1≤f﹙－1﹚≤2，3≤f﹙1﹚≤4，求f﹙－2﹚的取值范围。 我解的过程中涉及了两个不等式组，f﹙－1﹚＝a－b f﹙1﹚＝a＋b 所以有两个不等式，分别是﹛1≤a－b≤2 3≤ a＋b ≤4 相加得到 2≤a≤3 然后对第一个不等式两 边同时乘以－1 得到－2≤b－a≤－1,然后与第二个不等式相加，得到1／2≤b≤3／2，然后求f﹙－2﹚＝4a－2b的范围，得到5≤f﹙－2﹚≤11，但和答案不一样，哪位能帮我解释一下为什么。答案满意的加10分。谢谢！

Answer 1

楼主出错的原因在于： 你错误的迁移了我们解二元一次方程组的方法来求解变量范围，而条件给的 相当于 一个 二元一次不等式组！ 我想课本上或者老师也是没有讲解 求二元一次不等式组解集的方法的。 另外，楼主为什么不取值验证你的解集正确性呢？ 根据你的
2≤a≤3，1／2≤b≤3／2，我取两组值，a=2，b=3/2 （不满足f（-1）条件） a=3,b=1/2（不满足f(1)条件） ，就可以说明lz的解集是错的。
正解是 ：将 f(-1) ,f(1)整体考虑，作为“变量”，利用不等式的传递性，解决问题。
令 f(-2)=m f(-1) +nf(1),待定系数法可以得到
m +n =4 -m +n=-2,联立解得 m=3,n=1,故 3<=3f(-1)<=6,
∴ 6<= 3f(-1)+f(1)<=10
即 6<=f(-2)<=10

Answer 2

解：因为y=f（x）的图象经过原点，所以可设y=f（x）=ax2+bx．于是
{1≤f(-1)≤2 3≤f(1)≤4∴ {1≤a-b≤2 3≤a+b≤4 （I）
不等式组（Ⅰ）变形得 {2≤2a-2b≤4 4≤2a≤6
∴6≤4a-2b≤10，∴6≤f（-2）≤10，
所以f（-2）的取值范围是[6，10]．

追问

请具体说明一下我的解题过程为啥不对，万分谢谢

追答

对第一个不等式两边同时乘以－1 得到－2≤b－a≤－1
乘以正数才不会改变，乘以负数有可能会改变，

追问

不等式两侧同时乘以一个负数 不等号方向改变。这不是不等式的重要性质吗，我利用这个性质不对吗

追答

本来是1≤a-b≤2
按你算的2≤a≤3 1／2≤b≤3／2 得出3/2≤a-b≤3/2 这就出问题了

追问

呵呵 还是没太懂。

追答

对第一个不等式两边同时乘以－1 得到－2≤b－a≤－1 这是可以的
得到1／2≤b≤3／2 （得出3/2≤a-b≤3/2） 这与原不等式是矛盾的
所以，不等式组变形时，乘以负数有可能会改变，要慎重考虑

Answer 3

好