Question

求解一道很吊的极限证明题，需要较详细的描述，谢谢大家！

设f(x)在[0,+00)内单调非负，当x趋近于正无穷时，f(2x)/f(x)趋近于1，求证：对于任意正数k，当x趋近于正无穷时，f(kx)/f(x)趋近于1

Answer 1

对任意正数k, 存在正整数N, 使得1/2^N<=k<=2^N, 故
f(1/2^N x)/f(x)<=f(kx)/f(x)<=f(2^N x)/f(x)
左右两端极限为1, 由夹逼准则可知f(kx)/f(x)极限为1.

追问

请问，如何证明“左右两端极限为1”？

追答

f(2^N x)/f(x)=f(2^N x)/f(2^{N-1}x) * f(2^{N-1} x)/f(2^{N-2}x) * f(2x)/f(x)->1
类似可证f(1/2^N x)/f(x)->1 (因为x是1/2^N x的2^N倍)