Question

如图，三角形ABC是等腰三角形，角A=90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP= AQ

如图，三角形ABC是等腰三角形，角A=90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP= AQ，点D是BC的中点（1）求证：三角形PDQ是等腰直角三角形。（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由

Answer 1

（1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,
∴△BPD≌△AQD（SAS）,
∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP,
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形；理由如下：
由（1）知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠A=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=1/2AB,
∴四边形APDQ为正方形

Answer 2

【答案】

解：

(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
AD＝BD    

∠DAQ＝∠DBP    

BP＝AQ ，
∴△BPD≌△AQD(SAS)，
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；

(2)解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=1/2AB，
∴矩形APDQ为正方形(邻边相等的矩形为正方形)．

Answer 3

【答案】

解：

(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
AD＝BD

∠DAQ＝∠DBP

BP＝AQ ，
∴△BPD≌△AQD(SAS)，
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；

(2)解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=1/2AB，
∴矩形APDQ为正方形(邻边相等的矩形为正方形)．