Question

已知函数fx=ax²+bx+c(a＞0且bc≠0).令gx=2ax+b.若g1=0.又fx的图像

x轴上截得的弦的长度为l,且0＜l≦2.试比较b.c的大小。

Answer 1

显然g(x)是二次函数f(x)（抛物线，开口向上）的导函数

g(1)=2a+b=0，说明f(x)在x=1的导数为0，即x=1是抛物线f(x)的极值点
也即b=-2a ①

而f(x)在x轴上截得的弦的长度为 f(x)=0的两个解之间的距离，即
l = |x₁-x₂|=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂) = √((-b/a)²-4c/a) = √(b²-4ac)/a （其实就是√Δ/a） = 2√((a-c)/a)
而 0＜l ≤2
所以 0<(a-c)/a ≤1
即 0<a-c≤a
则 0≤c<a
而① b=-2a <0
所以b < c