Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图像为曲线C。

（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与X轴平行，求a，b的关系
（2）若函数f（x）可以再x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2,6]恒成立，求c的取值范围

Answer 1

1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与X轴平行，即函数f（x）=x³-ax²+bx+c存在极值
f'(x)=3x^2-2ax+b
判别式=4a^2-12b>0
a^2>3b
a，b的关系是 a^2>3b
(2) f'(x)=3x^2-2ax+b
函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，
x=-1 3+2a+b=0
x=3 27-6a+b=0
a=3 b=-9
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2,6]恒成立，求c的取值范围
f(x)=x^3-3x^2-9x+c
f'(x)=3x^2-6x-9
x -2 -2<x<-1 -1 -1<x<3 3 3<x<6 6
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -2+c 增 5+c 减 -27+c 增 54+c
在x∈[-2,6]最大值=54+c
54+c<2c
c>54

Answer 2

1) f'(x)=3x^2-2ax+b
切线与x轴平行，即f'(x)=0 有x=0的根，即有b=0.
2)f'(x)=0的根为-1， 3
得：-1+3=2=2a/3
-1*3=-3=b/3
解得：a=3, b=-9
3) f(x)=x^3-3x^2-9x+c
极大值为f(-1) =5+c<2c, 得：c>5
极小值为f(3)=-27+c<2c,得：c>-27
端点值f(-2)=-2+c<2c,得：c>-2
端点值f(6)=54+c<2c, 得：c>54
综合得：c>54

追问

好难懂，能详细点不？

追答

主要是三次函数的极值点在特点。当a>0时，则左边是极大值点，右边是极小值点。
而[-2,6]包含有极大值与极小值。因此要求出此区间的最大值，需将端点与极值比较，从而得出f(6)为最大。只要这个最大值都小于2c,即c>54了，则都满足f(x)<2c了。

追问

但是你第一问错了吧？而且我已经采纳了抱歉啊。。。

追答

第一问你采纳的反而是错的....

追问

为什么？(⊙_⊙?)对的吧。我怎么看都是对的呀( ⊙ o ⊙ )！

Answer 3

若是在高三时这题无压力 现在好久没做这类题了....