Question

如图，△ABC为等边三角形，E是AC的中点，D在BC的延长线上，CE=CD，点M是BD的中点，求证DE=2EM

Answer 1

作辅助线BE 因为E是AC的中点所以角EBD为30度、又因为CE=CD所以三角形ECD为等腰三角形所以角DEC=角EDC 而两角之和为角ACB及60度所以角EDC为30度而角EDC与角EDB为同一角所以角EDB 为30度而M 点为BD的中点所以EM为三角形BED的中垂线所以三角形MED为直角三角形因为角EDM 为30度 所以DE=2EM

Answer 2

由CD=CE, 得角CDE=角CED；
又角ACB=角CDE+角CED=60度；
得角CDE=30度；
BM=DM，得
CM+CD=BC-CM；CD=CE=BC/2; 得CM=BC/4;
所以CM/CE=1/2=cos(角ACB)=cos60度，即角CME=90度；
所以三角形DEM是直角三形，则有EM/DE=sin(角CDE)=sin30=1/2;