Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD中点G，连接EG、CG。

（1)如图1，证明EG=CG且EG⊥CG

急急急！在线等。只做出辅助线也可以！

Answer 1

作GH⊥GD    则GH＝GD＝GF   ∠GHC＝135º＝∠GFE   

HC＝CD-HD＝AB-√2GD＝AB-DF/√2＝AB-EA＝BE＝EF  

∴⊿GHC≌⊿GFE   ﹙SAS﹚  GE＝GC

∵∠HGF＝90º  ∴∠EGC＝∠ECF+∠FGC＝∠CGH+∠FDC＝∠FDH＝90º      GE⊥GC

Answer 2

作EH,CD垂直BD

BO=DO,FG=GD,EH=BH=HF

OG=OD-GD=OB-FG=BF-OG=2BH-OG,

2BH=2OG,OG=BH=EH

GH=OH+OG=OH+BH=OB=OC

△GEH≌△CGO

CG=EG,

∠1=∠2,∠1+∠3=90,∠2+∠3=90

EG⊥CG

Answer 3

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又∵FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

Answer 4

作EH,CD垂直BD
BO=DO,FG=GD,EH=BH=HF
OG=OD-GD=OB-FG=BF-OG=2BH-OG,
2BH=2OG,OG=BH=EH
GH=OH+OG=OH+BH=OB=OC
△GEH≌△CGO
CG=EG,
∠1=∠2,∠1+∠3=90,∠2+∠3=90
EG⊥CG

Answer 5

证明：延长EF交DC于点M,连接GM.
∵四边形ABCD为正方形
∴∠EBC=∠MCB=90°,∠ABD=45°
又∵∠BEM=90°
∴四边形BEMC是矩形
∴EB=MC,EM∥BC
又∵∠MEB=90°,∠EBF=45°
∴EB=EF
∴EF=MC
∵∠DMF=90°,G是FD的中点
∴GM=GF
∵EM∥BC
∴∠DFM=∠DBC=45°
∴∠GMF=45°
∵∠CME=90°
∴∠GMC=135°
∵∠EFB=45°
∴∠GFE=135°
∴∠GFE=∠GMC
在△GEF和△GCM中
EF=MC
∠GFE=∠GMC
GF=GM
∴△GEF≌△GCM
∴EG=CG,∠EGF=∠MGC
∵∠FGC＋∠MGC=90°
又∵∠EGF=∠MGC
∴∠EGC=90°
∴EG⊥CG

Answer 6

：（1）EG=CG，EG⊥CG． （2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=12FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=12∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）