Question

1．如图，在等腰三角形ABC中，底边BC上有任意一点P，则点P到两腰的距离之和等于定长(腰上的高)，急求

1．如图，在等腰三角形ABC中，底边BC上有任意一点P，则点P到两腰的距离之和等于定长(腰上的高)，即PD+PE=CF．若点P在BC的延长线上，则PD,PE和CF存在什么关系?写出你的猜想，并说明理由．若△ABC为等边三角形，P为△ABC内任一点，则P到三边的距离是否为定长?并说明理由．

Answer 1

1、由AB=AC=a
等腰三角形ABC面积=AB*CF*1/2=（AB*DP+AC*PE）*1/2
得CF＝DP+PE。
2、若点P在BC的延长线上时，其它条件不变。
过C点向PD作垂线，得交点K
现有CF=DK，如果PK=PE话，那么PD=CF+PE成立。下面证明三角形PCK≌三角形PCE。
角ABC=角ACB=角KCP，角ACB=角PCE，所以角KCP=角PCE
由角边角原理得，三角形PCK≌三角形PCE
所以PD=CF+PE
3、若△ABC为等边三角形，P为△ABC内任一点，则P到三边的距离是定长。
设等边三角形的边长为a。
等边三角形ABC的面积=a*H*1/2=(h1+h2+h3)*a*1/2
所以有：H= h1+h2+h3=0.866a
注：H是三角形ABC的高，h1、h2、h3是P点到三角形三边的距离。

Answer 2

连AP,用面积法.
若点P在BC的延长线上，则PD-PE=CF
若△ABC为等边三角形，P为△ABC内任一点，则P到三边的距离和依然为定长=高
证明:连PA,PB,PC, 面积法

Answer 3

猜想：PD-PE=CF
证明方法提示：过C做CM⊥PD交PD于M 证ΔPEC≌ΔPMC

P到三边的距离是为定长 等于
等边三角形△ABC的高
提示：过P做△ABC一边的平行线 就可以转化为第一种情况了

Answer 4

△ABC的三个角分别为：∠A=A,∠B=B,∠C=C,∠B=∠C,AB=AC
在△ABP中，根据余弦定理有 AP^2=AB^2+BP^2-2AB*BPcosB <1>
在△ABP中，根据余弦定理有 AP^2=AC^+PC^2-2AC*PCcosC
=AB^2+PC^2-2AB*PCcosB <2>
<1>—<2>，有0=BP^2-2AB*BPcosB —(PC^2-2AB*PCcosB )=(BP+PC)(BP-PC)-2ABcosB(BP-PC)=)(BP-PC)(BP+PC-2ABcosB)而BP与PC不一定相等，所以BP+PC=2ABcosB <3>
<3>带入<2>计算得AB^2-AP^2=BP*PC

Answer 5

连AP,用面积法.
若点P在BC的延长线上，则PD-PE=CF
若△ABC为等边三角形，P为△ABC内任一点，则P到三边的距离和依然为定长=高
证明:连PA,PB,PC, 面积法