Question

等腰三角形abc,底边bc上有点p,则p点到腰上距离之和等于定长,PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上，求PD-PE=CF

如图

Answer 1

不知道我理解对不对，
D，E分别是分别是P点到两腰上的垂足，F点不需要知道；若是这样
证明：
过B点BA'，BA'关于BC与AB镜面对称，P到A'B的垂足为D'；
PD+PE=定长CF；
所以PD'+PE=CF
所以AC平行BA'
若P在BC延长线上PD-PE=CF；CF正好是平行线AC、BA'之间的距离；

追问

是的，你很聪明啊！但请给我证明一下。谢谢。。。

追答

证明：
过B点BA'，BA'关于BC与AB镜面对称，P到A'B的垂足为D'；
PD+PE=定长CF；
所以PD'+PE=CF
==================================================
（以下证明AC//BA'用到大学线性代数知识，不知道你这是什么时期的题目，一般初中和高中这一平行证明过程不用写，你写一个显然就可以）
PD'=BP*sin∠PBD';PE=CPsin∠PCA
有方程组：
BP+CP=BC
BP*sin∠PBD'+CPsin∠PCA=CF
式中BP和CP是未知量，P为任意点，BP与CP取无穷组解
线性方程组有无穷解的条件是系数行列式值为0
即sin∠PBD'-sin∠PCA=0
====================================================
所以AC//BA'
若P在BC延长线上，PD-PE=CF；CF正好是平行线AC、BA'之间的距离；（你把辅助线作好，只要看到平行就很容易看到相等了；呵呵呵，在详细证明就只有自己稍微写一下了，只是文字上的功夫了，求分）

Answer 2

你的D点在那儿？没说清楚。

追问

D点是任意点

Answer 3

汗，无语。。。。很难说的呀

Answer 4

过C点做PD的垂线取H点；
可证明四边形DFCH为矩形；
∴DH=FC;
∵△ABC为等腰三角形
∴∠B=∠ACB
∵∠B+∠DPB=∠PCE+∠BPE=90°
∴∠DPB=∠BPE
又∵△HCP 和△ECP都是直角三角形
所以可以证明△HCP 和△ECP全等
所以PH=PE
∵PD-DH=PH
所以
PD-PE=CF

Answer 5

你只需想方设法证明 PD//CF（两种情况都是），其他就都是浮云了。
给你点提示： E'为DP（延长）线上一点，作菱形，DE'=CF ; PE=PE'

Answer 6

连接AP,则三角形ABC的面积= 三角形APB和三角形APC两者面积之和，由三角形APB和三角形APC以P为定点的底边AB和AC等长
则 S三角形ABC = AB*PD/2 + AC*PE/2 = (PD+PE)*AB/2
因此，两个腰上高之和PD+PE等定长
CF = PD+PE = 三角形ABC的腰上高

根据这个思路，将P放在BC的延长线上，
在BC延长线上作P1，P2，
则BA延长线上有D1，D2
则AC延长线上有E1，E2
连结P1D1， P1E1， P2D2， P2E2

过C作CJ1垂直D1P1于J1
过P1作P1J2垂直D2P2于J2
过P1作P1K2垂直E2P2于K2

BD2//CJ1//P1J2
AE2//P1K2
角D2BP2=角ACB=角P2CE2

则三角形P1E1C和三角形P1J1C全等
三角形P1P2J2和三角形P1P2K2全等
则可以得出 D2P2-D1P1 = E2P2-E1P1
因此 D2P2 - E2P2 = D1P1 - E1P1
且D2P2 - E2P2 = D1P1 - E1P1 = CF
则，结论为
PD - PE为定值且PD - PE = CF