Question

ln(1+x^2)的不定积分是

Answer 1

ln(1+x^2)的不定积分是xln（1+x²） - 2x +2 arctanx +C。

∫ ln（1+x²）dx

=xln（1+x²）-∫x dln（1+x²）

=xln（1+x²） - 2∫x²/(1+x²）dx

=xln（1+x²） -2∫[1- 1/(1+x²)] dx

=xln（1+x²） - 2x +2 arctanx +C

全体原函数之间只差任意常数C

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

Answer 2

直接分部积分。
∫ln(1+x²)dx
=x ln(1+x²) - ∫x · 2x/(1+x²) dx
=x ln(1+x²) - 2∫x²/(1+x²) dx
=x ln(1+x²) -2∫[1- 1/(1+x²)]dx
=x ln(1+x²) -2x+2arctanx +C

Answer 3

分部积分法会吗?我不想拍照了讲一下吧
分部积分一下第一步结果是Xln(....)-Xd(ln....)懂吗?就是分部积分用X直接乘进去
第二步就容易了,后面把ln算出来后分子提出一个二分之一之后配对,就是X平方+1再-1配出一个和分母一样的式子.这个式子分子分母一样积分完毕就是X了,分子剩下的那个-1呢就是第三步要做的了,就是一个X平方+1分之1,这个结构就是arctan的导数了,也就是说这个东西的积分结果是arctanX,最后的结果记得+一个C
就是constant

Answer 4

Answer 5

∫ ln（1+x²）dx
=xln（1+x²）-∫x dln（1+x²）
=xln（1+x²） - 2∫x²/(1+x²）dx
=xln（1+x²） -2∫[1- 1/(1+x²)] dx
=xln（1+x²） - 2x +2 arctanx +C