Question

ln(1+x^2)的不定积分是什么?

Answer 1

ln(1+x^2)的不定积分是xln（1+x²） - 2x +2 arctanx +C。

∫ ln（1+x²）dx。

=xln（1+x²）-∫x dln（1+x²）。

=xln（1+x²） - 2∫x²/(1+x²）dx。

=xln（1+x²） -2∫[1- 1/(1+x²)] dx。

=xln（1+x²） - 2x +2 arctanx +C。

全体原函数之间只差任意常数C

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。