Question

已知f(x)=x^2+2ax+b，对任意a∈[0,1]，存在m使|f(m)|=1/4与|f(m+1)|=1/4同时成立，求b-a的取值范围。

如果过程复杂请写在纸上，用照相机照下来发给我，我邮箱：1135346305@qq.com
万分感谢 （这是高三数学题，大学方法请勿使用）

Answer 1

解：由题意，分四种情况讨论。
(1)
当f(m)=1/4与f(m+1)=1/4同时成立时，方程f(x)=1/4的两根之差|x1-x2|等于1
即x^2+2ax+(b-1/4)=0
x1+x2=-2a,x1x2=b-1/4
|x1-x2|
=根号(x1-x2)^2
=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]
=根号[(-2a)^2-4(b-1/4)]
=2*根号(a^2-b+1/4)
=1
解得,b=a^2，代入b-a，得
b-a=a^2-a=(a-1/2)^2-1/4
在a∈[0,1]范围内
当a=1/2时，取得最小值为-1/4
当a=0或1时，取得最大值0
所以此时的取值范围为b-a∈[-1/4,0]
(2)
当f(m)=-1/4与f(m+1)=-1/4同时成立时，方程f(x)=-1/4的两根之差|x1-x2|等于1
即x^2+2ax+(b+1/4)=0
x1+x2=-2a,x1x2=b+1/4
|x1-x2|
=根号(x1-x2)^2
=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]
=根号[(-2a)^2-4(b+1/4)]
=2*根号(a^2-b-1/4)
=1
解得,b=a^2-1/2，代入b-a，得
b-a=a^2-a-1/2=(a-1/2)^2-3/4
在a∈[0,1]范围内
当a=1/2时，取得最小值为-3/4
当a=0或1时，取得最大值-1/2
所以此时的取值范围为b-a∈[-3/4,-1/2]
(3)
当f(m)=1/4与f(m+1)=-1/4同时成立时，则有方程f(m)=1/4与f(m+1)=-1/4所表示的两个点分别为(m,1/4)和(m+1,-1/4)
将此两点代入方程，得方程组
m^2+2am+b=1/4
和
(m+1)^2+2a(m+1)+b=-1/4
两式分别解出m, 再两式相等，求出含有a的b的表达式
代入b-a，求出一个范围
（4）当f(m)=-1/4与f(m+1)=1/4同时成立时，求出一个范围
（1）（2）（3）（4）四个范围相叠加，即为所求

追问

在下学疏才浅，（1）（2）我都知道就是（3）（4）不太清楚 可不可以把（3）过程详细写出？在下万分感谢

追答

(3)
当f(m)=1/4与f(m+1)=-1/4同时成立时，则有方程f(m)=1/4与f(m+1)=-1/4所表示的两个点分别为(m,1/4)和(m+1,-1/4)
将此两点代入方程，得方程组
m^2+2am+b=1/4
和
(m+1)^2+2a(m+1)+b=-1/4
两式分别解出m, 分别为m=-a+/-根下(a^2-b+1/4)和m=-(a+1)+/-根下(a^2-b-1/4)
两式通过m相等，即-a+/-根下(a^2-b+1/4)=-(a+1)+/-根下(a^2-b-1/4)
可化为+/-根下(a^2-b+1/4)+/-根下(a^2-b-1/4)=1
令w=a^2-b，代入式中，可化为+/-根下(w+1/4)+/-根下(w-1/4)=1
此式等价于|根下(w+1/4)+/-根下(w-1/4)|=1
等式两边平方，得w+/-根下(w^2-1/16)=1/2，移项后再平方，解得w=5/16，代回w=a^2-b中，得b=a^2-5/16
b-a=a^2-a-5/16＝(a-1/2)-9/16
此函数的对称轴为1/2，开口向上，在区间a∈[0,1]之内，
所以当a=1/2时，取得最小值为-9/16
当a=0或1时，取得最大值为－5/16
所以此时的取值范围为b-a∈[-9/16,-5/16]
(4)
当f(m)=-1/4与f(m+1)=1/4同时成立时，则有方程f(m)=1/4与f(m+1)=-1/4所表示的两个点分别为(m,-1/4)和(m+1,1/4)
将此两点代入方程，得方程组
m^2+2am+b=-1/4
和
(m+1)^2+2a(m+1)+b=1/4
两式分别解出m, 分别为m=-a+/-根下(a^2-b-1/4)和m=-(a+1)+/-根下(a^2-b+1/4)
两式通过m相等，即-a+/-根下(a^2-b-1/4)=-(a+1)+/-根下(a^2-b+1/4)
可化为+/-根下(a^2-b-1/4)+/-根下(a^2-b+1/4)=1
此式与第(3)种情况一样，故不必再讨论。

综上所述，b-a∈[-3/4,-5/16] ，[-1/4,0]

追问

你的答案老实说错了 我现在不好采纳你答案 不过在下觉得你的答案正确