Question

求 sin x /2展开的幂级数，详细过程

Answer 1

具体回答如下：

f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3……

f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）

因此f（x）的迈克劳林级数为：f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……

具体代入：0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……

化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……

该级数的收敛半径为R=+无穷大

y=sinx/2的展开幂次级：sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）

幂级数的意义：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

Answer 2

f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为R=+无穷大；
检验：|X-X0|无穷）
因此,综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）

追问

再问你一题呗

（-1）^n *x ^2n +1/（2n +1）！的收敛域

Answer 3

f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为R=+无穷大；
检验：|X-X0|无穷）
因此,综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）