Question

如图，△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,点D是AB上的一个动点，∠B=∠EDC,DE/AB=DC/BC,DE交AC于F

（1）设CD=x，△EDC的周长为Y，求Y关于X的函数解析式及定义域
（2）点D在运动过程中，是否存在△DFC相似△CFE？若存在，请求出点D在AB上的位置；若不存在，说理。

Answer 1

1) ，△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,，则三角形ABC是直角三角形，AB是斜边，<ACB是直角
∠B=∠EDC ,DE/AB=DC/BC
所以，三角形ABC和三角形DCE相似
DE/AB=DC/BC=CE/AC
设这个比值为k
DE=5k CD=3k CE=4k
那么 x=3k ,k=x/3
三角形EDC的周长y=5x/3+x+4x/3=5x+3x+4x=12x
即 y=12x
当CD垂直于AB是，CD达到最小 ，此时，5x=12 x=12/5
当D点与A点重合时，CD达到最大，此时x=4
这个函数的定义域是 12/5<=x<=4

2)当D在运动中，DE垂直于AC时，三角形DFC和三角形CFE相似
此时<CDF+<DCF为直角
而 <ECF+<DCF也是直角
那么，<CDF=<ECF
两个直角三角形中，有一个锐角对应相等，这两个直角三角形相似。
此时，DE//BC,
<FDC=<ACD=<B
即，当D点为AB中点时，三角形DFC和三角形CFE相似

Answer 2

(1)一眼就知道三角形ABC为直角三角形，
因为，∠B=∠EDC,DE/AB=DC/BC
可知 三角形ABC相似于三角形CDE
DE/AB=DC/BC=CE/AC=X/4
所Y=(3+4+5)*(X/4)
(2)（初中的三角形相似大多是建立在直角三角形的基础上的的）
当DE垂直于AC时，两三角形相似
此时 因为角ABC=角CDE AC垂直于DE
所以角BAC=角DCA
AD=DC,BD=CD
D为AB中点