Question

如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F.

（1）说明BE=CF的理由 （2）如果AB=a ,AC=b 求AE,BE的大小（用含a,b的式子表示）

Answer 1

(1)证明:连接DB,DC.
DG垂直平分BC,则DB=DC;
DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.
故Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL),得:BE=CF.
(2)解:DE=DF(已证);AD=AD.
则Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),AE=AF.
故AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=(a+b)/2;
AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,BE=(a-b)/2.

Answer 2

1.在三角形DEF和三角形CDF
得知 DE=DF(半角的性质），DB=DF（DG⊥BC且平分)
因此 三角形DEF和三角形CDF 全等
所以 BE=CF
（2）设 BE=CF=x ，
三角形ADE是直角三角形 ，而AE=a-x ，因此（a-x）^2+DE^2=AD^2
同理 AF=AC+CF=b+x ，所以（b+x)^2+DF^2=AD^2
注意 DE=DF ，可以得到 （a-x）^2=(b+x)^2
a^2-2ax+x^2=b^2+2bx+x^2
x=(a-b)/2 (a>b的时候）
x=BE -> AE=a-x=(a+b)/2
AE-BE=b>0
所以 AE>BE
a<b的时候也是AE>BE

Answer 3

(1)证明:连接DB,DC.
DG垂直平分BC,则DB=DC;
DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.
故Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL),得:BE=CF.
(2)解:DE=DF(已证);AD=AD.
则Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),AE=AF.
故AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=(a+b)/2;
AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,BE=(a-b)/2.

Answer 4

（1）观察 三角形DEF和三角形CDF
可以得知 DE=DF(半角的性质），DB=DF（DG⊥BC且平分)
因此 三角形DEF和三角形CDF 全等
所以 BE=CF
（2）设 BE=CF=x ，
由于三角形ADE是直角三角形 ，而且AE=a-x ，因此（a-x）^2+DE^2=AD^2 ......(I)
同理 AF=AC+CF=b+x ，所以（b+x)^2+DF^2=AD^2 ........(II)
注意 DE=DF ，可以得到 （a-x）^2=(b+x)^2
a^2-2ax+x^2=b^2+2bx+x^2
x=(a-b)/2 (a>b的时候）
x=BE -> AE=a-x=(a+b)/2
AE-BE=b>0
所以 AE>BE
a<b的时候也 明白AE>BE