Question

如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点，且AD=DE,EF∥BC交BD于F，求证AB=EF

Answer 1

证法一：
∵FE∥BC，∴∠DFE＝∠DBC，而∠DBC＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DFE，又AD＝DE，
∴△ABD的外接圆与△DFE的外接圆是等圆，而∠ADB与∠FDE互补，
∴AB＝EF。［等圆中，互补的圆周角所对的弦相等］

证法二：
延长BD至G，使FD＝DG。
∵AD＝DE、FD＝DG，∴AFEG是平行四边形，∴AG∥FE，∴∠AGB＝∠EFD。······①
∵FE∥BC，∴∠EFD＝∠DBC，而∠ABG＝∠DBC，∴∠ABG＝∠EFD。······②
由①、②，得：∠AGB＝∠ABG，∴AB＝AG，显然，由平行四边形AFEG，有：AG＝EF，
∴AB＝EF。