Question

求lim（1/n^2+1 +1/n^2+2 +……+1/n^2+n)当n趋近于无穷

为什么n/n^2+n≤1/n^2+1 +1/n^2+2 +……+1/n^2+n≤n/n^2+1,这两个范围是怎么出来的

Answer 1

1/n^2+1 +1/n^2+2 +……+1/n^2+n前面的n-1 个式子都大于最后一个 所以前n-1个式子的和大于
(n-1)/(n²+n) 再加上最后一个式子 就有1/n^2+1 +1/n^2+2 +……+1/n^2+n>=n/(n²+n)
这个也一样 后n-1个式子都小于第一个式子 所以后n-1个式子的和 小于（n-1)/（n²+1）再加上第一个式子 就有1/n^2+1 +1/n^2+2 +……+1/n^2+n<= n/(n²+1）

Answer 2

因为 1/(n^2+n) ≤ 1/(n^2+k) ≤ 1/(n^2+1) k = 1,2,3 , ......, n
所以 n/(n^2+n) ≤ u(n) ≤ n/(n^2+1)
由迫敛准则，得： lim(n->∞) u(n) = 0