Question

如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD=AE，连DE，求证：DE⊥BC

麻烦您用4种方法解题。。。
方法1：延长DE至F交于BC
方法2：过点D作DG相交于BC的延长线
方法3：过A作AH⊥DE
方法4：过E作EM//BC【这个不确定，可能还需要做其他的辅助线】

麻烦您了！请在10月12日早晨6点半之前解答出来！

Answer 1

方法1：延长DE交BC于F，并记∠BAC=α，
在△ABC中，∵AB=AC，∴∠C=(180-α）/2=90°-α/2，
在△ADE中，∠ADE+∠AED=外角∠ABC=α，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α/2，
在△EFC中，∠FEC=∠AED=α/2，
于是∠EFB=∠FEC+∠C=α/2+90°-α/2=90°，故DE⊥BC。
方法2：过点D作DG∥AC交BC的延长线于G，
那么∠G=∠ACB=∠B，有DG=DB，
而∠EDG=∠DEA=∠EDA，
可见DE是∠BDG的平分线，所以DE⊥BC。
方法3：过A作AH⊥DE，H为垂足，
∵AD=AE，∴∠DAH=∠EAH=∠DAE/2=(180°-∠BAC)/2=∠B，
∴AH∥BC，那么DE⊥BC。
方法4：过E作EM//BC交AB于M，那么△AME也是等腰三角形，
得AM=AE=AD，则△WED是直角三角形，DE⊥ME，
从而DE⊥CB。

Answer 2

证明：

我们只要证明∠B+∠E=90°就可以得到ED⊥BC了，

∵AB=AC,AE=AF,

∴∠B=∠ACB,∠E=∠AFE,

∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠BAC=∠E+∠AFE,

∴∠B+∠ACB+∠E+∠AFE=180°，

∴2∠B+2∠E=180°，

即∠B+∠E=90°，

∴ED⊥BC,

谢谢！

Answer 3

我没学过