Question

下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类

y=x/tanx，x=kπ，x=kπ+π/2（k=0，±1，±2……）

答案说x=0和x=kπ+π/2时为可去间断点，
x=kπ（k≠0）为第二类间断点
为什么？怎么判断的？

Answer 1

x=0和x=kπ+π/2时，函数是存在极限的，只需要让函数值等于0即可，因此是可去间断点。
而x=kπ（k≠0）为无穷间断点，是第二类间断点

追问

什么意思？可去间断点不是左右极限存在且相等吗，和什么函数值=0有什么关系

追答

可去间断点的意义就是让函数连续。而函数要想连续必须还满足一个条件，左极限等于右极限等于函数值。因此必须让函数值和极限值相等。

追问

是不是因为y=x/tanx除了分母为0时都是连续的，所以只要让函数值等于0即可，但为什么是等于0呢

追答

你理解的很好。

为什么是等于0呢？
连续有三个条件：
左极限与右极限存在
左极限与右极限相等
左极限与右极限等于f(x0)
而这个第三个条件就是为什么等于0的原因，这一点是间断点，而函数的极限又存在，我们就可以让间断点的极限值等于函数值，这样函数就连续了。

追问

可是x=0时函数没意义喔，是不是他只是逼近0又不是0，所以x=0时的函数值就为0了？

追答

正是由于它没有意义，所以才用极限来填补这个点。

Answer 2

分母tanx不能为0

追问

不为0就是可去间断点吗？可去间断点不是左右极限存在且相等吗，那它的极限是什么