Question

证明数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收敛，并求其极限

Answer 1

解：

设a1=√2,a2=√(2+√2),a3= √(2+√(2+√2))。

an=√[2+a(n-1)]

数学归纳法：An

设数列为{An},显然A（n+1）=√（2+An）＞0

有界.数学归纳法A1＜2,设Ak＜2,则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立故0＜An＜2,

最后求极限，设极限为A，有A=√(2+A)，解出A=2。

扩展资料

数列收敛：

如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。

Answer 2

显而易见，这个数列是递增
然后再用数学归纳法证明这个数列是有上界的
因为有a1=√2<2,
ak=√(2+ak-1)<2
从而可证an<2
因为an是单调有界数列，所以极限存在
设极限为A
有A=√(2+A)
解出A=2

Answer 3

易证这个是递增数列，
且都<2
所以是递增有界数列，
所以收敛
设极限为a
则√(2+a)=a
所以 a=2
即极限为2

Answer 4

令x=√(2+√(2+√2)),-----＞0
∴x²=2+√(2+√2)),-----=2+x
∴x²-x-2=0
∴x=2或x=-1（舍）
∴数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收敛，其极限为2

Answer 5

显而易见，这个数列是递增
然后再用数学归纳法证明这个数列是有上界的
因为有a1=√2<2,
ak=√(2+ak-1)<2
从而可证an<2
因为an是单调有界数列，所以极限存在
设极限为A
有A=√(2+A)
解出A=2