Question

高分（100＋）求解高阶数学题目，关于函数。（看图片）

怎么没人回答啊！btw，把题目简化为这个好了：
Give an example of a function f and a set Y such that Y and f(f^{-1}(Y)) are not equal.

Answer 1

（详细解答请看图，不想看图的可以看下面的简略过程）

这个很简单，考虑下面这个函数 f:R->R, (实数到实数)

定义 f(x)=0 , 任取 x属于R.

考虑集合 Y={0,1},则

f^{-1}(Y)=R, 但是

f(f^{-1}(Y))=f(R)={0} 不等于 Y

Answer 2

这个很容易呀
比如y=1所有的y值都对应1，然后f^(-1)不确定

Answer 3

正常情况下y跟f(f^{-1}(Y)) 肯定相等的，因为y=f(x),x=f^{-1}(Y),把x代人前一个式子就成了，不等就意味着x不等于f^{-1}(Y)（逆否命题），也就是说x无法表达为y的反函数形式。而不是所有的函数都有反函数的，就找那些没有反函数的函数就行了，比如y=x^2

Answer 4

我觉得化简的题目是对的，即 Y = f(f^{-1}(Y))
倒是 f^{-1}(f(X)) ⊆X 可能成立
y=sinx, X=[0,π],Y=[0,1] , f（x）区间为 [0,1] ，f^{-1}(x)= arcsinx ，当x=[0,1]时，
f^{-1}(x)区间为 [0,π/2] ，即 f^{-1}(f(X)) = [0,π/2] ⊆X =[0,π]

Answer 5

这里没说清f^(-1)是什么。我猜这里的f^(-1)不是指反函数，而是指集合的完全原像。

如果是这样的话，对映射f:A->B, 记g=f^(-1), 结论应为：
f(g(Y))≤Y, f为满射时二者相等。
X≤g(f(X)), f为单射时二者相等。

证明很简单，下面说下不等的例子。
对于前者，只要f不满，取Y=B, f(g(B))必然真包含于B. 因为此时f(X)<B, 而f(g(B))≤f(X).
对于后者，可设A={0,1}, B=Y=X={0}, f(0)=f(1)=0. 则g(f(X))=g(Y)=A>X.

注：以上的<, ≤之类均解释为包含关系的符号。

Answer 6

3,2