Question

已知数列{an}满足a1=1,an=a1+a2+a3+…+(n-1)a(n-1）（n>=2,n属于N*),求数列{an}的通项公式

Answer 1

a1=1,a2=a1=1
an=a1+a2+a3+…+(n-1)a(n-1）
an-1=a1+a2+a3+…+(n-2)a(n-2）
an-a(n-1)=(n-1)a(n-1)
an=na(n-1)
a(n)/a(n-1)=n
a(n-1)/a(n-2)=(n-1)
....
a(3)/a(2)=3
a(n)/a(2)=3*4*5*....n=n!/2
an=n!/2 (n≥2）
所以 a(1)=1
a(n)=n!/2 (n≥2)

追问

a(3)/a(2)=3
a(n)/a(2)=3*4*5*....n=n!/2
an=n!/2 (n≥2）
这几步没有看懂，能不能再详细说明一下，谢谢

追答

a(n)/a(n-1)=n
a(n-1)/a(n-2)=(n-1)
....
a(3)/a(2)=3

将以上这些相乘，就是叠乘
即可得到
a(n)/a(2)=3*4*5*....n=n!/2

追问

a(n)/a(2)=3*4*5*....n=n!/2这步依然困解，再仔细讲讲
不过按照a(n)/a(n-1)=n
a(n-1)/a(n-2)=(n-1)
这两步能不能就可以直接得出阶乘的结论啊

追答

不能，就跟楼下的错误答案一样
只能到a(3)/a(2)=3
没有 a(2)/a(1)=2这一步
所以 左边相乘为 a(n)/a(2)
右边是3*4*5.....*n
少了2和1，所以等于n!/2

这题是某年的高考题，呵呵

Answer 2

a1=1,an=a1+a2+a3+…+(n-1)a(n-1)
a(n-1)=a1+a2+a3+....
两式相减an-a(n-1)=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=n
a(n-1)/a(n-2)=n-1
........
a2/a1=2
叠乘an/a1=n*(n-1)*......*2
因a1=1
所以an=n*(n-1)*.....*2*1=n!