Question

两道高数题的疑问

这几天刚刚开始看高数，真是头晕脑胀！虽然看的是例题解析，可是还是有看不懂的地方，请各位高手执教，小女子这厢有礼了：）

1、lim(arctan x-sin x)/x3
x->0

我刚开始用等价无穷小代换，把sinx代换成x,在用洛毕达法则，计算出的跟先用洛毕达法则，在把cos x代换成1-x2/2,计算出的结果不一样。到底怎么算才正确呢？

2、题目是这样的:(怎么插图片啊，我哭）做个连接吧，不知道能不能看。
http://photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl2=7d94a7603023f4a58fc9b0c09130ea68b9790805759c4b6206879b75a12fa48a5d1755ed5cc2dd9283fc115fac80390957dcfddde1da1deceae01f5611262213a534e8fb6d285bfe08ce6c22937dc1a139b66436（如果看不了的话，请到我的QQ空间的相册里看85722420，麻烦各位了！）

这里有条件 0<x1<3,当0<x1<3/2时x1<x2,这个数列单调递增。但是当3/2<x1<3时，x1〉x2,这个数列就不单调了，也不能求极限了。可是参考答案里只讨论n>1时数列单调递增，为什么不考虑x1呢？

Answer 1

1、lim(arctan x-sin x)/x3 x->0
在x->0情况下，sinx=x是把x的高阶无穷小忽略掉所得的近似关系，泰勒展开
arctan x = x-x^3／3+x^5／5.....
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!........
应该看出来，为什么分子上有加减法不能用等价无穷小代换，等价无穷小就是泰勒展开把一次以上高阶余项忽略，比如arctan x = x sin x = x，但这里到x＾3项是有区别的，你一用等价无穷小，把一次以上高阶余项的差别忽略了．
所以，只要把分子各项泰勒展开到足够高项，就可以的出结果，从这个意义上说，求极限的等价无穷小代换是泰勒展开的近似，泰勒展开法是广义的更精确的无穷小代换－－－它按需要忽略更高阶的无穷小．
如果你考研究生，这种题目，推荐的方法就是泰勒展开法，思路简明，展开足够高次项，准对，当然你要熟悉泰勒展开
lim(arctan x-sin x)/x＾3
＝lim(x-x^3／3+x^5／5...）-（x-x^3/3!+x^5/5!...）／x＾3
＝ -1/6
用洛必达也可以，对整个分子求导，不要先代换某一项．说一句，莫比乌斯圈的结果正确，但分子上有加减法不能用等价无穷小代换，可以用”广义的无穷小代换”－－泰勒展开，给出更高项．考试用等价无穷小代换，会算你错误．他明知道应该用cos x的泰勒展开却只用了前两项1－x^2/2，显然知道这里泰勒展开到x^2项就没影响了，但这种过程，判卷老师不会留情．
2 数列是否有极限，极限是多少与前面有限项无关．举个例子，1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32.....和1/8 1/16 1/32.....极限情况是一致的．考虑数列的极限问题时，数列的前任意项都可以忽略不看

Answer 2

1.错就错在先等价代换，再用洛必达法则，等价代换只是在x->0时函数值等价,而导数是不等价的,所以再用洛必达法则就错了.
应该原式=lim[1/(1+x^2)-sin x]/x^3
=lim[1/(1+x^2)-1+x^2/2]/3x^2 此处严格来讲应该使用cos x的泰勒展开,但最终结果一样
原式=lim[1/2-1/(1+x^2)]/3=-1/6
2. 数列极限不必拘泥前面的有限项,即使3/2<x1<3时，x1〉x2,但从x2开始数列仍然是具有单调性的,题中只讨论n>1的情况正是免去了讨论x1影响数列单调性的过程,而这对数列极限的存在是没有影响的.

答的有点乱,勉强看看吧,呵呵

Answer 3

上楼的有没有搞错？把人家题都改了还做个什么啊？

这题你做的也不对啊！

俺正在思考中……

分太少有点郁闷……

Answer 4

1.使用洛必达法则，应该对原式做微分，不能在进行替换之后再做微分，对原式使用两次洛必达法则可以得到极限为3/4。
2.忽略掉x1对于整个数列的极限没有影响，给出x1的范围是为了求出后面n项的范围以及确定其单调性。

Answer 5

1、“把sinx代换成x,再用洛毕达法则”，这样做就不对了。在x->0情况下，sinx=x是把x的高阶无穷小忽略掉所得的近似关系，在本题中不能用这样的近似。后一种方法对的可能性要大些。
2、你可以把x2，x3，x4…xn看成一个新的数列并对这个数列用所给的准则作出判断，事实上在考虑数列的极限问题时，数列的前任意项都可以忽略不看，这里仅仅是忽略掉x1而已，理解起来应该不会有多大困难吧。

Answer 6

高难度啊，辛苦你了，慢慢解啊