Question

伽马函数(1/2+n)的值

伽马函数(1/2+n)的值
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Answer 1

伽马函数(1/2)的值可以根据余元公式算出，余元公式的定义是对0-1之间的数，有，将1/2代入得到伽玛函数（1/2）的值是Π^(1/2)。

利用伽马函数Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n-1)!，及Γ(1/2)=√π，有Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]Γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)Γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]Γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积。

该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

伽玛函数的对数的导数称为Digamma函数  ，记为 。

Digamma函数同调和级数相关，其中，其中是欧拉常数。

而对于任意x有，在复数范围内，Digamma函数可以写成

而Digamma函数的泰勒展开式为

其中函数  为黎曼zeta函数，是关于黎曼猜想的一个重要函数。

类似伽玛函数，Digamma函数可以有渐进式：

Answer 2

答：利用伽马函数Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n-1)!，及Γ(1/2)=√π，有Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]Γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)Γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]Γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积。供参考。

Answer 3

利用伽马函数Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n-1)!，及Γ(1/2)=√π，有Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]Γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)Γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]Γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积

Answer 4

由高等数学第七版
P268，推导公式：Γ(s+1)=sΓ(s) (s＞0)；
P269，余元公式：Γ(1/2）=√π；
得

Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]
=Γ[(2n-1)/2+1]
=[(2n-1)/2]Γ(2n-1/2)
=[(2n-1)/2][(2n-3)/2]Γ(2n-3)/2)
=[(2n-1)/2][(2n-3)/2][(2n-5)/2]...1/2Γ(1/2)
=[1*3*5*...*(2n-1)√π]/2^n

Answer 5

利用伽马函数Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n-1)!，及Γ(1/2)=√π，有Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]Γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)Γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]Γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积。供参考。