Question

高中数学题曲线方程

有一正三角的两个顶点在抛物线y方=2px上，另一点在原点.求这个三角形的边长.

Answer 1

设A,B在抛物线y方=2px上,C在原点,则A,B关于x轴对称，设A（y1方除以2p,y1),B(y2方除以2p,y2),则|AB|=|y2-y1|=2|y1|,|AC|=根号下yi方除以2p的方加y1方,因为ABC为正三角形，角ACX=30度，则yi方除以2p=根3乘以y1,即y1=2p乘以根3，所以边长=4p乘以根3.

Answer 2

设两顶点为A,B，考虑p>0的情况（小于0只是加一个负号，这里略）
因为是ABO正三角形，三边相等
y²=2px关于x轴对称
所以两个顶点关于x轴对称
故可设两顶点为A(t, √(2pt)) 和B(t, -√(2pt))
由AB=AO
得2√(2pt)=√{t²+[√(2pt)]²}
两边平方8pt=t²+2pt
解得t=0(舍去)或t=6p
所以边长=AB=2√(2p*6p)=4p√3

Answer 3

由题意可知正三角形的一边垂直x轴，另两边的直线与x轴得夹角为30°
故y=±√3/3 x
代入y²=2px,解得x=6p,故x²=36p²，y²=2p*6p=12p²
故边长为√(36p²+12p²）=4√3p