Question

已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式cx2+bx+a<0的解集

没有其他条件了，数学高手快来！~~~主要是过程要严密

Answer 1

因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),所以
a<0
由cx2+bx+a<0
两边同除以x^2,得
a*(1/x)^2+b*1/x+c<0
-[a*(1/x)^2+b*1/x+c]>0
1.如果
α>0
则
x<1/β或 x>1/α
2.如果
β<0
则
x<1/β或 x>1/α
3. α<0,β>0
则
x>1/β或 x<1/α
4. α=0
则
x>1/β
5. β=0
x<1/α

Answer 2

由第一个式子的解集可知，第一个不等式等价于（x-α)(x-β)<0,即x2-(α+β)+αβ<0,由此可以推出a<0，那么1. -b/a=α+β, 2 . c/a=αβ
当c>0时，cx2+bx+a<0 <=> x2+(b/c)x+a/c<0 由上边的1除以2.可以得到-b/c=1/ α+1/β ;a/c= 1/ α*1/β 可以看出1/ α和1/β是等式 x2+(b/c)x+a/c=0的两根，由于c/a=αβ <0且α<β =>1/ α<1/β
所以此时不等式可以写成(x-1/ α)(x-1/β)<0,解集为（1/ α，1/β)
当c<0时，cx2+bx+a<0 <=> x2+(b/c)x+a/c>0 同上可以得到1/ α和1/β是等式 x2+(b/c)x+a/c=0的两根，由于c/a=αβ >0且α<β =>1/ α>1/β,
所以此时不等式可以写成(x-1/ α)(x-1/β)>0,解集为x>1/ α或者x<1/β
当c=0时，ax2+bx+c>0 <=> x(x+b/a)<0,若b>0,则α=0，β=-b/a，那么此时不等式cx2+bx+a<0的解集为x<-a/b 即x<1/β; 若b<0,则α=-b/a，β=0 那么此时不等式cx2+bx+a<0的解集为x>-a/b 即x>1/α

Answer 3

ax²＋bx＋c>0的解集是(α，β)，则：α＋β=－b/a、αβ=c/a、a<0，则：
cx²＋bx＋a<0 两边同除以a，得： 【注意a<0】
(c/a)x²＋(b/a)x＋1>0 即：
(αβ)x²－(α＋β)x＋1>0
(αx－1)(βx－1)>0 【解集应该在两根1/α、1/β之外】
本题到此为止，要得到解集的话，必须给出α、β的正负情况。

Answer 4

由题意知a<0
-b/a=α+β b=-a(α+β)
c/a=αβ c=a*αβ
cx2+bx+a＜0
a*αβx^2-a(α+β)x+a＜0 同除以a（a<0）
αβx^2-(α+β)x+1＞0
(αx-1)(βx-1)>0
因为0＜α＜β
所以1/α＞1/β
所以x＜1/β或x＞1/α

Answer 5

x2是平方吧
由解集知:
a（x-α）(x-β)>0,a<0
所以 aαβ=c,-a(α+β)=b
所以后一个不等式等价于
aαβx^2-a(α+β)x+a<0
即
a(αx-1)(βx-1)<0
解集自己再想想吧,情况挺多的