Question

如图所示：抛物线L1：y=-x^2-2x+3交x轴与A,B两点，叫y轴于点M点。

抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交X轴于C,D两点
1.求抛物线L2对应的函数表达式。
2.抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使一ACMN为顶点的四边形是平行四边形？求点N的坐标。

Answer 1

（1）令y=0时，得－x^2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，
∴A（－3，0），B（1，0）．
∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，
∴C（－1，0），D（3，0）．
∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．
即y=－x^2+2x+3．
（2）存在．如图所示．
令x=0，得y=3，∴M（0，3）．
∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，
∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN‖AC．
又∵AC=2，∴MN=AC．
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M‖AC，N′M=AC，
∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N（2，3），N′（－2，3）即为所求．
（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），
则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），
且y1=－x1^2－2x1+3，
将点Q的横坐标代入L2，得yQ=－x12－2x1+3=y1≠－y1．
∴点Q不在抛物线L2上．

Answer 2

1.y=-x^2+2x+3
2.N(-2,3) N(2,3)