已知a>0,b>0且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2?
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因为，2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a²+b²)+2ab = (a+b)² = 1 ，
所以，a²+b² ≥ 1/2 ；
因为，(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ，
所以，1/(ab) ≥ 4/(a+b)² = 4 ；
(a+1/a)²+(b+1/b)² = a²+b²+1/a²+1/b²+4 = (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4 ≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2 。
所以，a²+b² ≥ 1/2 ；
因为，(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ，
所以，1/(ab) ≥ 4/(a+b)² = 4 ；
(a+1/a)²+(b+1/b)² = a²+b²+1/a²+1/b²+4 = (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4 ≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2 。
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>=25/2
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