Question

如图已知在三角形ABC中,AD平分角bac,BD=CD求证AB=AC（两种方法）

Answer 1

证法1:作DE垂直AB于E,DF垂直AC于F.
AD平分角BAC,则DE=DF;又AD=AD,则Rt⊿ADE≌Rt⊿ADF(HL),AE=AF;
又BD=CD,则Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL),BE=CF.
所以,AE+BE=AF+CF,即AB=AC.

证法2:作DE垂直AB于E,DF垂直AC于F.
AD平分角BAC,则DE=DF;又BD=CD,则Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL).
∠DBE=∠DCF;又BD=CD,∠DBC=∠DCB.
故∠ABC=∠ACB,得AB=AC.

Answer 2

1.过D作AB AC的垂线设垂足分别为M N 由角平分线定理可得 DM=DN 再正明直角三角DMB 与直角三角形DNC全等（好证吧！） 所以∠ABC=∠ACB 所以AB=BC
2.延长AD至m使AD=DM 连接CM 易证明三角形ADB与三角形CDM全等 所以∠ABD=∠MCD 所以直线AB//MC 所以∠BAD=∠DMC=∠CAD 所以AC=CM=AB
不知道楼主看不看得清！在这上面我表达不清。

Answer 3

1.作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD平分∠BAC
∴DE=DF
又BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF
∴∠B=∠C
∴AB=AC
2.作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD平分∠BAC
又AD=AD
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)
∴AE=AF DE=DF
又BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF
∴BE=CF
∴AB=AE+BE=AF+CF=AC

Answer 4

在ab上找一点e
使得
ae＝ac（圆规作图）
连接
ed
则
ad＝ad
ae＝ac
∠ead=∠cad
所以
△ead和△cad全等
所以de=cd
在三角形bed中，根据三角形任意两边之差小于第三边，
得出不等式：be>bd-de
ab-ae>bd-de
ab-ac>bd-cd（de=cd
ae=ac）