Question

请教，请用洛必达法则求下列极限 多谢各位高手先

lim((x^3+x^2+x+1)^1/3-x) x趋近正无穷
lim(x-(x^2)ln(1+1/x)) x趋近正无穷
lim((2^x+3^x+4^x)/3)^(1/x) x趋近0

Answer 1

一楼第三题有误

第一题答案请见图片

第二题答案

lim(x→+∞)[x-x²ln(1+1/x)]

=lim(x→+∞)[(1-xln(1+1/x))/(1/x)]

=lim(t→0+)[(1-ln(1+t)/t)/t](令t=1/x)

=lim(t→0+)[{t-ln(1+t)}/t²] 

=lim(t→0+)[{t/(1+t)}/(2t)](0/0型极限,利用罗比达法则求导)

=lim(t→0+)1/(2t+2)   

=1/2

Answer 2

解：lim(x->+∞)[(x^3+x^2+x+1)^1/3-x]
=lim(x->+∞)[((1+1/x+1/x²+1/x³)^1/3-1)/(1/x)]
=lim(t->0+)[((1+t+t²+t³)^1/3-1)/t] (令t=1/x)
=lim(t->0+)[(1/3)(1+2t+3t²)(1+t+t²+t³)^(-2/3)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=(1/3)(1+0+0)(1+0+0+0)^(-2/3)
=1/3；
lim(x->+∞)[x-(x^2)ln(1+1/x)]
=lim(x->+∞)[(1-xln(1+1/x))/(1/x)]
=lim(t->0+)[(1-ln(1+t)/t)/t] (令t=1/x)
=lim(t->0+)[(ln(1+t)-t/(1+t))/t²] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(t->0+)[(1/(1+t)-1/(1+t)²)/(2t)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(t->0+)[(1/2)(1+t)²)] (化简)
=(1/2)/(1+0)²
=1/2；
lim(x->0)[((2^x+3^x+4^x)/3)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln((2^x+3^x+4^x)/3)/x]} (应用对数变换)
=e^{lim(x->0)[ln((2^x+3^x+4^x)/3)/x]} (应用初等函数连续性)
=e^{lim(x->0)[3(2^xln2+3^xln3+4^xln4)/(2^x+3^x+4^x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[3(ln2+ln3+ln4)/(1+1+1)]
=e^[ln(24)]
=24。

追问

第三题的答案不对诶

Answer 3

lim((x^3+x^2+x+1)^1/3-x) x趋近正无穷
lim(x-(x^2)ln(1+1/x)) x趋近正无穷
lim((2^x+3^x+4^x)/3)^(1/x) x趋近0
这三个题， 都采取连续求导。就可以解出来了、、、