Question

已知函数f(x)等于X的3次方加6X的平方，求证函数f(x)在区间〖-3，-1〗上是减函数。

Answer 1

高一？只能用定义证：
令-3≦x1<x2≦-1；
则：f(x1)-f(x2)=x1^3+6x1^2-x2^3-6x2^2
=x1^3-x2^3+6(x1^2-x2^2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+6(x1-x2)(x1+x2)
=(x1-x2)((x1^2+x1x2+x2^2+6x1+6x2)
=(x1-x2)(x1^2+6x1+9+x2^2+6x2+9+x1x1-18)
=(x1-x2)[(x1+3)^2+(x2+3)^2+x1x2-18]
因为-3≦x1<x2≦-1，所以：x1-x2<0，0≦x1+3<2，0<x2+3≦2，1<x1x2<9；
所以：0≦(x1+3)^2<4， 0<(x2+3)^2≦4，又：1<x1x2<9；
则：1<(x1+3)^2+(x2+3)^2+x1x2<17
所以：(x1+3)^2+(x2+3)^2+x1x2-18<0
所以：f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+3)^2+(x2+3)^2+x1x2-18]>0
即：-3≦x1<x2≦-1时，f(x1)>f(x2)
所以：函数f(x)在区间〖-3，-1〗上是减函数；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

对函数求导可得导数为3x^2+12x
令导数小于零，可得3x^2+12x<0可得-4<x<0
即x在（-4,0）上时，函数为递减函数
所以可得[-3，-1]上函数为减函数
希望对你有所帮助。

Answer 3

求证函数f(x)在区间〖-3，-1〗上是减函数，
也就是说当x= -3 ，x= -2，x= -1 的时候f(x)在区间〖-3，-1〗上是减函数。
当X= - 3时，f(x1)=X^3+6X^2 = - 27 + 54=27
当X= - 2时，f(x2)=X^3+6X^2 = - 8 + 24=16
当X= - 1时，f(x3)=X^3+6X^2 = - 1 + 6=5
f(x1)>f(x2)>f(x3) , 由此证明函数f(x)在区间〖-3，-1〗上是减函数