Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R，都有f(a+b)=f(a

)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立.f(3)=—3，试求函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域？x)在[m.n]m.n属于z上的值域？

Answer 1

解：因为函数y=f(x)的定义域为R,任取两个实数x1，x2，满足x1<x2，则x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，
所以f(x2)＝f((x2－x1)+x1)＝f(x2－x1)+f(x1)<f(x1)，所以函数y=f(x)在R上为单调减函数。
对任意a,b属于R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，可以推得对任意的整数n，f(n)＝nf(1)
因为f(3)=—3，所以f(1)＝－1，则f(n)＝nf(1)＝－n，f(m)＝－m，所以函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域为[－m，－n].

Answer 2

f(a+b)=f(a)+f(b)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2f(1)=3f(1)
设x=k（其中k∈Z）时f(x)=kf(1)成立
∵当x=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1) = (k+1)f(1)成立
∴f(x)=xf(1)
又：f(3)=3f(1)=-3，∴f(1)=-1
∴f(x)=-x，在x∈Z上单调减
在x∈[m，n]
ymin=f(n) = -n，ymax=f(m)=-m
值域【-n，-m】

Answer 3

取x1>x2，则：f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)=[f(x1－x2)＋f(x2)]－f(x2)=f(x1－x2)
因x1－x2>0，则f(x1－x2)<0，即：f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)是减函数。
所以函数f(x)在区间[m，n]上的最大值是f(m)，最小值是f(n)，即值域是：[f(n)，f(m)]
又：f(3)=－3，所以f(3)=f(2)＋f(1)=[f(1)＋f(1)]＋f(1)=3f(1)，所以，f(1)=－1，
从而类似，得到：f(m)=－m，f(n)=－n，从而值域是：[－n，－m]

Answer 4

f(x)=f(0+x)=f(0)+f(x), 0=f(0).
0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.
x>y时,x-y>0, f(x-y)<0.
f(x)-f(y)=f[y+(x-y)]-f(y)=f(x-y)<0. f(x)<f(y), f(x)单调递减.
3f(1)=f(1)+[f(1)+f(1)]=f(1)+f(2)=f(3)=-3, f(1)=-1.
下面用归纳法证明: 当n是自然数时,f(n)=-n.
n=1时,结论成立.
设n=k时,结论成立,则f(k)=-k.
当n=k+1时,f(k+1)=f(1)+f(k)=-1-k=-(k+1).结论也成立.
所以,由归纳法知,当n是自然数时,f(n)=-n.
当m是自然数时,f(m)=-m.
由f(x)单调递减知,
y=f﹙x﹚在[m,n]﹙m,n∈Z﹚上的值域为[-n,-m]

Answer 5

对满意答案提出质疑数学归纳法只适合迂正整数