已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a
)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.f(3)=—3,试求函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域?x)在[m.n]m.n属于z上的值域?...
)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.f(3)=—3,试求函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域?x)在[m.n]m.n属于z上的值域?
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解:因为函数y=f(x)的定义域为R,任取两个实数x1,x2,满足x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
所以f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1),所以函数y=f(x)在R上为单调减函数。
对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),可以推得对任意的整数n,f(n)=nf(1)
因为f(3)=—3,所以f(1)=-1,则f(n)=nf(1)=-n,f(m)=-m,所以函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域为[-m,-n].
所以f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1),所以函数y=f(x)在R上为单调减函数。
对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),可以推得对任意的整数n,f(n)=nf(1)
因为f(3)=—3,所以f(1)=-1,则f(n)=nf(1)=-n,f(m)=-m,所以函数y=f(x)在[m.n]m.n属于z上的值域为[-m,-n].
推荐于2016-12-01 · 知道合伙人教育行家
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f(a+b)=f(a)+f(b)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2f(1)=3f(1)
设x=k(其中k∈Z)时f(x)=kf(1)成立
∵当x=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1) = (k+1)f(1)成立
∴f(x)=xf(1)
又:f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1
∴f(x)=-x,在x∈Z上单调减
在x∈[m,n]
ymin=f(n) = -n,ymax=f(m)=-m
值域【-n,-m】
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2f(1)=3f(1)
设x=k(其中k∈Z)时f(x)=kf(1)成立
∵当x=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1) = (k+1)f(1)成立
∴f(x)=xf(1)
又:f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1
∴f(x)=-x,在x∈Z上单调减
在x∈[m,n]
ymin=f(n) = -n,ymax=f(m)=-m
值域【-n,-m】
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取x1>x2,则:f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=[f(x1-x2)+f(x2)]-f(x2)=f(x1-x2)
因x1-x2>0,则f(x1-x2)<0,即:f(x1)<f(x2),所以函数f(x)是减函数。
所以函数f(x)在区间[m,n]上的最大值是f(m),最小值是f(n),即值域是:[f(n),f(m)]
又:f(3)=-3,所以f(3)=f(2)+f(1)=[f(1)+f(1)]+f(1)=3f(1),所以,f(1)=-1,
从而类似,得到:f(m)=-m,f(n)=-n,从而值域是:[-n,-m]
因x1-x2>0,则f(x1-x2)<0,即:f(x1)<f(x2),所以函数f(x)是减函数。
所以函数f(x)在区间[m,n]上的最大值是f(m),最小值是f(n),即值域是:[f(n),f(m)]
又:f(3)=-3,所以f(3)=f(2)+f(1)=[f(1)+f(1)]+f(1)=3f(1),所以,f(1)=-1,
从而类似,得到:f(m)=-m,f(n)=-n,从而值域是:[-n,-m]
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f(x)=f(0+x)=f(0)+f(x), 0=f(0).
0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.
x>y时,x-y>0, f(x-y)<0.
f(x)-f(y)=f[y+(x-y)]-f(y)=f(x-y)<0. f(x)<f(y), f(x)单调递减.
3f(1)=f(1)+[f(1)+f(1)]=f(1)+f(2)=f(3)=-3, f(1)=-1.
下面用归纳法证明: 当n是自然数时,f(n)=-n.
n=1时,结论成立.
设n=k时,结论成立,则f(k)=-k.
当n=k+1时,f(k+1)=f(1)+f(k)=-1-k=-(k+1).结论也成立.
所以,由归纳法知,当n是自然数时,f(n)=-n.
当m是自然数时,f(m)=-m.
由f(x)单调递减知,
y=f﹙x﹚在[m,n]﹙m,n∈Z﹚上的值域为[-n,-m]
0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.
x>y时,x-y>0, f(x-y)<0.
f(x)-f(y)=f[y+(x-y)]-f(y)=f(x-y)<0. f(x)<f(y), f(x)单调递减.
3f(1)=f(1)+[f(1)+f(1)]=f(1)+f(2)=f(3)=-3, f(1)=-1.
下面用归纳法证明: 当n是自然数时,f(n)=-n.
n=1时,结论成立.
设n=k时,结论成立,则f(k)=-k.
当n=k+1时,f(k+1)=f(1)+f(k)=-1-k=-(k+1).结论也成立.
所以,由归纳法知,当n是自然数时,f(n)=-n.
当m是自然数时,f(m)=-m.
由f(x)单调递减知,
y=f﹙x﹚在[m,n]﹙m,n∈Z﹚上的值域为[-n,-m]
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对满意答案提出质疑数学归纳法只适合迂正整数
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