Question

若经过点P（1,2）的直线L与两点A(2,3).B(4，-5)的距离相等，则直线L的方程是？ 求详细过程

有4个答案：A.4X+Y-6=0 B.X+4Y-6=0 C.3X+2Y-7或4X+Y-6=0 D.2X+3Y-7=0或X+4Y-6=0

Answer 1

设过P点的直线为y-2=k(x-1) 即k(x-1)-y+2=0
点A 到直线的距离=|k-1|/根号(k^2+1)
点B 到直线的距离=|3k+7|/根号(k^2+1)
|k-1|/根号(k^2+1)=|3k+7|/根号(k^2+1)
|k-1|=|3k+7|
k=-4或-3/2
直线为y=-4x+6 或3x＋2y－7=0
选C

追问

可以给详细点的解题过程吗？？？带公式

追答

点到直线距离公式：直线（一般式）：Ax＋By＋C＝0 ，点坐标（Xo，Yo），那么这点到这直线的距离就为：|AXo＋BYo＋C|/根号（A^2+B^2）
代入本题得：点A 到直线的距离=|k-1|/根号(k^2+1)
点B 到直线的距离=|3k+7|/根号(k^2+1)
距离相等，所以：|k-1|/根号(k^2+1)=|3k+7|/根号(k^2+1)
去分母，得：|k-1|=|3k+7|
去绝对值，得：k-1=3k+7或1-k=3k+7
所以，k=-4或-3/2
所以，直线为4x+y-6=0 或3x＋2y－7=0
选C

追问

代入本题得：点A 到直线的距离=|k-1|/根号(k^2+1)
点B 到直线的距离=|3k+7|/根号(k^2+1)
这两步怎么出来的?

追答

前面假设：过P点的直线为y-2=k(x-1) 即k(x-1)-y+2=0，即 kx-y+2-k=0
A(2,3)到L的距离为：|2k-3+2-k|/根号(k^2+1)=|k-1|/根号(k^2+1)
B(4,-5)到L的距离为：|4k+5+2-k|/根号(k^2+1)=|3k+7|/根号(k^2+1)

追问

：|2k-3+2-k|/根号(k^2+1)=|k-1|/根号(k^2+1)
这一步用了什么公式？

追答

这一步什么都没用，简单计算 2k-3+2-k=k-1

Answer 2

此直线与AB平行或者过AB中点。
1、AB的斜率k=－4，则所求直线是4x＋y－6=0
2、过AB中点(3，－1)，则所求直线是3x＋2y－7=0

追问

可以给详细点的解题过程吗？？？带公式

Answer 3

因为直线L过点P（1,2），故设点斜式方程：y-2=k(x-1)
即，L：kx-y+(2-k)=0
根据点到直线的距离公式
A(2,3)到L的距离为：（2k-3+2-k）/根号下（k平方+1的平方）
B(4,-5)到L的距离为：（4k+5+2-k）/根号下（k平方+1的平方）
由于两点到L距离相等，故2k-3+2-k=4k+5+2-k
故2k=-8，k=-4
L：-4x-y+6=0
也可写成y=-4x+6

Answer 4

当所求直线的斜率不存在时，即x=1显然不符合条件，所以可设y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0,d==|2k-3+2-k|／根号k²+1,得2k²+11k+12=0即k=-4或k=-1.5所以直线方程3X+2Y-7或4X+Y-6=0

Answer 5

这道题可以反过来看，点A和点B到直线L相等，且直线L过点P（1,2）
注：也就是说，点A和点B对直线L做垂线，线段相等，那么也就是说直线AB与直线L平行。
求出直线AB的斜率就是直线L的斜率，再让通过P（1,2）就可以了
解： 设直线L方程为：y=ax+b 直线AB斜率：c
a=c=(yB-yA)/(XB-XA)=（-5-3）/(4-2)=-4 斜率为a=-4
直线L：y=-4x+b 将P(1,2)带入求出b
2=-4*1+b b=6
最后直线L：y=-4x+6

追问

有4个答案：A.4X+Y-6=0 B.X+4Y-6=0 C.3X+2Y-7或4X+Y-6=0 D.2X+3Y-7=0或X+4Y-6=0
选哪个
？