Question

cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1，求证α+β+γ<π。

α，β，γ放在长方体ABCD -A1B1C1D1中，对角线为AC1，如果有除这种方法的多种方法，也请讲讲。

Answer 1

设对角线为AC1长为a，∠AC1B=α,∠AC1D=β,∠AC1A1=γ，则acosα，acosβ，acosγ分别代表长方体ABCD -A1B1C1D1的三条对应边，a²cos²α+a²cos²β+a²cos²γ=a²，cos²α+cos²β+cos²γ=1，cos∠ACB=BC/AC，cosα=√(BC²+CC1²)/√(AC²+CC1²)，∵BC＜AC，∴BC²＜AC²，BC²CC1²＜AC²CC1²，BC²CC1²+BC²AC²＜AC²CC1²+BC²AC²，BC²/AC²＜(BC²+CC1²)/(AC²+CC1²)，BC/AC＜√(BC²+CC1²)/√(AC²+CC1²)，则cos∠ACB＜cosα，α＜∠ACB，同理可证β＜∠ACD，α+β＜∠ACB+∠ACD=π/2，∵γ是直角△中的锐角，∴γ＜π/2，则α+β+γ<π。

追问

原题是,3/4π＜α+β+γ＜π，前一个已经证出来了，。。。证得α+β＞π/2,同理。。。则得2（α+β+γ）>3/2π，α+β+γ>3/4π，第二个没搞定。你再仔细看看，有疑惑。

追答

对不起α、β、γ角应分别为∠BAC1=α,∠DAC1=β,∠A1AC1=γ，cosα=AB/a，cos∠BAC=AB/AC，∵AC＜a，∴cosα＜cos∠BAC，a＞∠BAC，同理可证β＞∠DAC，α+β＞∠BAC+∠DAC=π/2；同理可证β+γ>π/2,和α+γ>π/2，则2(α+β+γ)＞3π/2，α+β+γ＞3π/4.

追问

不过我证不出来的的是α+β+γ<π

追答

分别把直角△ABC1和直角△ADC1、直角△ABC1和直角△AA1C1、直角△ADC1和直角△AA1C1放置于平面中，它们每对直角△的斜边是长方体对角线为AC1，BC1、DC1和A1C1是长方体侧面BCC1B1、侧面CDD1C1和底面A1B1C1D1的对角线，将以上3对直角△所形成四边形的AB、AD边重合，发现B、D两点是所形成△C1C1C1两条边的中点，BD=√[AB²+AD²-2ABADcos(α+β)]，∵α+β＞π/2，∴2ABADcos(α+β)＜0，BD＞√(AB²+AD²)，∴△C1C1C1边C1C1=2BD＞2√(AB²+AD²)，∵A1C1=√(AB²+AD²)，∴C1C1＞2A1C1，说明A1点不能重合，则2(α+β+γ)＜2π，α+β+γ＜π。

追问

我没把图拼出来，不好理解，不过这个最佳答案还是给你

Answer 2

我也只会这一种方法…-.-

Answer 3

有别的方法吗？等

追问

不过就这种方法我都还没完全掌握