Question

求解高数问题

Answer 1

证明：明显成立f(x)在[x1, xn]上也连续，
可设M和m分别是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值，
因为xi属于[x1, xn]，ki >0，(1≤ i≤n),，所以有kim≤kif(xi)≤ kiM，
从而有Km≤k1f(x1)+ k2f(x2)+…+ knf(xn)≤KM，
即有m≤[k1f(x1)+ k2f(x2)+…+ knf(xn)]/K≤M，
上式说明[k1f(x1)+ k2f(x2)+…+ knf(xn)]/K是最值之间的一个值，
故由介值定理的推论知，在[x1, xn]上至少有一点ξ，
使f(ξ)=[k1f(x1)+ k2f(x2)+…+ knf(xn)]/K。
证毕。

Answer 2

不妨设点c、d
在(x1,x2)区域在c点f(x)取最小值，在d点取最小值
那么f(c)≤1/K[k1f(x1)+k2f(x2)+……+knf(xn)]≤f(d)
因为f(x)在[a,b]上连续,且因为f(x)在c和d点取最小和最大值
对任意点ζ∈(x1,xn)，有：f(c)≤f(ζ)≤f(d)
那么必然存在一个点ζ，有f(ζ)=1/K[k1f(x1)+k2f(x2)+……+knf(xn)]