Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使三角形F1PF2=

根号3*b^2,则该椭圆的离心率范围是

Answer 1

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点分别为F₁(-c,0)，F₂(c,0),若椭圆上存在一点P使三角形F₁PF₂的面积S= (√3)b²,则该椭圆的离心率范围是
解：设点P的坐标为(x，y)，那么面积S=(1/2)︱F₁F₂︱︱y︱=(1/2)(2c)︱y︱=c︱y︱≦cb，
(因为︱y︱的最大值是b)，即有(√3)b²≦cb，b/c≦1/√3，b²/c²=(a²-c²)/c²=(1-e²)/e²≦1/3，
于是有：3(1-e²)≦e²，4e²≧3，e²≧3/4，即(√3)/2≦e<1，这就是该椭圆的离心率的取值范围。