Question

如图；已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD ,求证:EF//平面PBC。

Answer 1

证明一：连接AF，延长AF，交BC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BGF，
在△ADF和△GBF中，
∠DAF=∠BGF（已证），
∠AFD=∠GFB（对顶角相等），
∴ △AFD∽ △GFB（∽是相似符号），
∴BF：GF=FD：FA，
∴BF：FD=GF：FA，
又∵BF：FD=PE：EA（已知），
∴GF：FA=PE：EA（等式传递性），
在△APG中，
GF：FA=PE：EA，
∴ △AEF∽ △APG，
∴∠AEF=∠APG，
∴EF∥PG，
∴EF∥平面PBC。
命题得证

证明二：
过点F做GH∥BC，交AB于点G，交CD于H，
连接EG，EH，
∵GH∥BC，
∴FG∥AD，
∴BG：GA=BF：FD=PE：EA，
∴EG∥PB，
又∵GH∥AB，
∴面EGH∥面PBC，
∵EF是面EGH上的直线，
∴EF∥面PBC。
命题得证